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348章
灵感,总是来的这么措不及防!
程诺嘴角微微一勾,将书页翻回原本那一页。
既然chebyshev(切比雪夫)给出的bertrand假设的证明过程如此复杂,那么,自己就挑战一下,看看是否能够用更加简便的数学语言证明bertrand假设吧。
顺便,来验证一下,这一年的深入钻研,自己的能力究竟到了何种地步。
bertrand假设的简单证明方法。
光是这个论文题目,就足以被称得上是一区水平的论文。当然,前提是程诺真的能够探索出来那条简单的解法。
就如程诺之前所假设过的。数学界每一个猜想或者假设的证明过程都是由走到终点的过程,有的路线曲折,有的路线笔直。
而或许,切比雪夫发现的是那条比较曲折的路线,而程诺,则需要在前人的基础上,开辟出一条更加简捷的道路。
但这却比单独证明bertrand假设要简单。
毕竟是站在巨人的肩膀上看待问题,有了切比雪夫这位“开荒者”提出的证明方案,程诺或多或少的也能从中汲取到什么,并进行独到的理解。
想到就做!
程诺不是那么犹豫不决的人。反正时间充裕,容得程诺在发现“此路不通”后,重新寻找另一个论文方向。
想要提出更加简便的方案,首先要把前人提出的证明思路吃透。
他没有火急火燎的直接开始自己的钻研,而是低下头,从头到尾的阅读书中关bertrand假设的那十几页内容。
两个小时后,程诺合上书。
闭着眼回味了几秒,他从书包中掏出一摞空白的草稿纸,拿起桌面上的黑色碳素笔,聚精会神的开始了自己的推演:
想要证明bertrand假设,就必须证明几个辅助命题。
引理一:【引理1:设n为一自然数,p为一素数,则能整除n!的p的最高幂次为:s=Σi≥1floor(npi)(式中floor(x)为不大于x的最大整数)】
这里,需要将从1到n的所有(n个)自然数排列在一条直线上,在每个数字上叠放一列si个记号,显然记号的总数是s。
关系式s=Σ1≤i≤nsi表示的是先计算各列的记号数(即si)再求和,由此得到的关系,便是引理1。
引理二:【设n为自然数,p为素数,则Πp≤np≈ap;lt;4n】
用数学归纳法。n=1和n=2时引理显然成立。假设引理对n≈ap;lt;n成立(n≈ap;gt;2),我们来证明n=n的情形。
如果n为偶数,则Πp≤np=Πp≤n-1p,引理显然成立。
如果n为奇数,设n=2+1(≥1)。注意到所有+1≈ap;lt;p≤2+1的素数都是组合数(2+1)!!(+1)!的因子,另一方面组合数(2+1)!!(+1)!在二项式展开(1+1)2+1中出现两次,因而(2+1)!!(+1)!≤(1+1)2+12=4
如此,便能……
程诺思路顺畅,几乎没费多大功夫,便用自己的方法将这两个辅助命题证明出来。
当然,这不过是才走完第一步而已。
按照切比雪夫的思路,后面还需要通过这两个定理引入到bertrand假设的证明步骤中去。
切比雪夫用的方法是硬凑,没错,就是硬凑!
通过公式间的不断转换,将bertrand假设的成立的某一个,或者某几个充要条件,转换为引理一或者引理二的形式,在进行化简整合求解。
当然,程诺肯定不能这么做。
因为用这种求证方案的话,别说是程诺,就算是让希尔伯特来,恐怕证明步骤也不会比切比雪夫简单多少。因此,必须要转换思路。
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